[00332739]随机分析理论及其在金融中的应用研究

1.课题来源与背景 课题来源： 陕西省教育厅专项科研计划项目《衍生证券定价理论及其应用研究》（编号：01JK137）;《分数布朗运动环境下的期权定价理论及其应用研究》（编号：05JK207）;《分数跳扩散过程理论及其在金融中的应用》（编号：09JK464）。 课题背景： 20世纪80年代,随机微分方程数值解的收敛性与稳定性、解的数值模拟算法的研究引起国内外许多学者的极大关注,且在流体力学、金融工程研究中提出的一系列问题,使得随机微分方程面临新挑战,特别对跳、Markov调制驱动的微分方程解的存在性、数值解的收敛性、稳定性问题及其应用带来了广泛的研究空间。 近二十年来金融数学问题研究发现：在金融市场中股票价格短期或长期具有一定的依赖性或相关性,所以更为合理的假定是股票价格遵循分数布朗运动驱动的随机微分方程,因为分数布朗运动具有自相似性和长期依赖性,更能切合实际地反映金融市场变化特性。因而分数布朗运动驱动的随机微分方程所描述的金融数学问题受到广泛关注,关于分数布朗运动环境下的期权定价和投资消费问题都需要进一步研究。 2.研究目的及意义 带跳、Markov调制的随机微分方程的解的存在性、数值解的收敛性、稳定性问题仍未解决,许多问题有待于进一步完善,这限制了其在实际领域中的应用。带跳、Markov调制的随机微分方程所描述的较为复杂系统,难以得到其解的表达式,那么其数值解理论以及解的数值模拟方法将起着关键性作用,因此研究方程数值解具有广阔的应用前景,将对金融、物理、水文、交通、电信等实际问题的解决奠定理论基础。 在金融市场中股票价格短期或长期具有一定的依赖性或相关性,所以更为合理的假定是股票价格遵循分数布朗运动驱动的随机微分方程,因为分数布朗运动具有自相似性和长期依赖性,更能切合实际地反映金融市场变化特性。建立切合实际的由分数布朗运动驱动的金融市场数学模型,解决标的资产长城依赖性问题,为金融数学等领域实际问题的研究奠定了理论基础。 3.主要论点与论据 （1）随机微分方程数值解研究。 随机微分方程解析解及数值解的稳定性的研究一般通过构造合适的Lyapunov函数进行研究。我们将通过半鞅收敛定理,借助于已有文献研究思路,找出数值解与解析解的等价关系讨论其稳定性。利用数值逼近方法和p阶矩刻画数值解收敛性的方法,研究带跳随机微分方程数值解的矩收敛。将半鞅的相关理论与凸分析有效地结合起来设法获得数值解收敛性的途径;利用条件期望探讨马尔科夫调制下的数值解收敛性问题。 （2）分数布朗运动理论及应用研究 通过建立和完善关于分数布朗运动的随机分析理论,利用国内外最新的相关文献,根据金融市场的实际,建立切合实际的由分数布朗运动驱动的金融市场数学模型,在此数学模型的基础上,利用关于分数布朗运动的随机分析理论,研究关于分数布朗运动环境下的期权定价和投资消费问题。 4.创见与创新 （1）利用半鞅和局部鞅的工具以及随机数值逼近方法,对涉及到的跳过程、Markov调制的随机微分方程进行特征分析,并发现和构造了新的凸函数,解决了其数值解收敛性与稳定性问题。 （2）对随机不可压缩的Navier-Stokes方程采用多项式展开处理随机项,将其转化为确定性方程组,以便利用已存在的高效算法对其求解,从而解决了随机不可压缩的Navier-Stokes方程的数值模拟问题。 （3）建立了切合实际的由分数布朗运动驱动的金融市场数学模型,研究了关于分数布朗运动环境下的期权定价和投资消费问题。 5.社会经济效益,存在的问题 随机分析理论研究处于随机数学研究领域的前沿,具有广阔的应用前景。带跳随机微分方程作为描述随机现象的一个重要数学分支,能描述经济学、物理学、生态学、生物学和医学等领域的客观现象,随机微分方程的数值解的研究为完善随机微分方程理论具有重要理论价值,对从流体力学、金融工程的研究中所提出的一系列问题提供理论依据。分数布朗运动驱动的随机微分方程在解决金融数学、生物数学、物理学、流体力学、电子通讯等领域具有广泛应用。 因此,该成果对随机分析理论发展具有重要的理论价值,对促进我国高新技术的发展具有重要意义和应用价值。